فصل اول مجموعههاي معمولي

فصل اول مجموعههاي معمولي

مقدمه براي درك مفهوم مجموعه هاي فازي نياز به شنننتا دق د يز ازمجموعه هاي معمولي مي باشننند در این بخش مجموعههاي معمولي تعاریف ومفاهيم اوليه آن را یادآوري مي كتيم همچتين براي درك بهتر متطز فازي نيازبه شتادق متطز معمولي وجبربول ميباشد كه آنها رانيز یادآوري ميكتيم - مجموعه - - - - - تعریف -: یك مجموعه گردآیهاي ازا شياء كامال معين و ممتایز ميبا شد ا شياء ت شكيل دهتده مجموعه را اع ضاء مجموعه یا عتاصر مجموعه ميناميم مثالهاي زیر مفهوم مجموعه را مشخص ميكتتد: مجموعه حروف الفبا مجموعه تمام اعداد زوج طبيعي مجموعه اعداد حقيقي بين و 2 مجموعه ماههاي سال مجموعه دانشجویان رشته كامپيوتر دانشگاه ابل توجه ا سق كه هرجمله كه یك د سته ازا شياء را م شخص ميكتد یك مجموعه رامعرفي نميكتد مثال سه نفر ازشعراي معروف ایران یا مجموعه اعداد ديلي بزرگتر از مجموعهاي را مشخص نميكتتد در مثالهاي ادير براي مورد اول مفهوم معين ني سق و براي مورد دوم را با مجموعه معمولي مشخص كرد دروا ع مفاهيم مبهم وناد يز مدنظر ميبا شد بتابراین نميتوان آنها براي نمایش مجموعه ازحروف بزرگ التين AوBو استفاده ميشود وبراي نمایش اعضاي آن ازحروف كوچك التين استفاده ميكتيم مجموعههاي معروفي كه با آنها آشتا هستيم عبارتتد از: دروا ع اعداد حقيقي مجموعه اعداد گویا و گتگ ميباشتد. یك مجموعه را به چهار طریز ميتوان نمایش داد مجموعه اعداد طبيعي,{ و 2 و 3 و } = N مجموعه اعداد حسابي مجموعه اعداد صحيح مجموعه اعداد گویا W={,,2, } Z = {, 2,,,,2, } Q = { p p Z, q Z, q } q مجموعه اعداد گتگ Q} Q = {x: x - -2 مجموعه اعداد حقيقي R نمایش تف صيلي یا فهر ستي: دراین نمایش اع ضاء مجموعه ب صورت فهر سق دادل}{ رار ميگيرند مثل N={,2,3,.} نمایش ریاضي: این نمایش ازمتداولترین نمایش مجموعه درریاضي ميباشد دراین روش اعضاء مجموعه با توجه به دا صيق یا شرط مربوطه م شخص مي شود درحالق كلي این نوع نمایش ب صورت زیر ميبا شد p(x)} A x} U : كه درآن U همان مجموعه مرجع یا مجموعه جهاني ميبا شد عتا صر مجموعه با x نمایش داده شده بطوریكه داصيق یا شرط مربوطه را داشته باشتد مثال - : اعداد حقيقي بين و 2 A { x R : x 2} 2

و- و 9 نمایش نمودار ون:دراین روش معموال براي نمایش مجموعه ازاشننكال هتدسنني اسننتفاده ميشننود معموال مرجع به مستطيل و بقيه مجموعهها با دایره مشخص ميشوند این نمایش براي اولين بار توسط ریاضيدان انگليسي به نام ون براي سادگي نمایش مجموعهها واعمال روي آنها معرفي گردید -3 شکل - 4- روش تعلز)تابع عضویق(: دراین روش عضو بودن یا عضو نبودن یك شيء درمجموعه مد نظر اسق توسنننط یك تابع به نام تابع عضنننویق انجام ميپذیرد فرض كتيد A مجموعه مورد نظر باشننند ازمجموعه این كار χ A تابعي A به مجموعه } و { بصورت زیر تعریف ميشود: A( x) x A x A دروا ع عضو بودن با عدد و عدم عضویق با عدد مشخص ميشود مثال 2- : فرض كتيد A مجموعه اعداد طبيعي بين 2 و باشد درایتصورت { ازنمایش تابع عضویق مجموعه رابصورت زیر نمایش ميدهيم : x 3,4,5,...,9 A( x) ساير 2 A یعتي A ( 2) و 3 A یعتي A داریم 3) ( 8 و 7 و 6 و 5 و 4 وA=}3 و با استفاده نمایش تابع عضویق براي نمایش مجموعههاي فازي نيز استفاده ميشود به همين دليل در ادامه ازاین نمایش بيشتر استفاده ميكتيم تمرین - - مجموعههاي زیر را با نمایش تابع عضویق مشخص كتيد الف: مجموعه اعداد زوج طبيعي كمتر از ب: مجموعه اعداد حقيقي بين و 3 A { x Q درستي یا نادرستي گزارههاي زیررا مشخص كتيد : 2 -فرض كتيد 2} x 3 A ( ) د: A ( 2) ج: A ( 2) ب: A الف- ) ( 2 2- مجموعه اعداد صحيح بين 5 5 را با همه روشها نمایش دهيد 2- روابط و اعمال روي مجموعهها : -2- شموليق یا زیر مجموعه بودن تعریف 2- -: مجموعههاي B,A را درنظر بگيرید اگر هرع ضو A ع ضوي از B با شد آنگاه A را زیر مجموعه B گویيم x A x B A B 3

شکل 2-: زيرمجموعه مثال 3-: فرض كتيد B=[,3],A=[,2] واضح اسق كه A B x B حال رابطه زیر مجموعه بودن را با نمایش تابع عضننویق مشننخص ميكتيم طبز تعریف اگر x A ( x) پس اگر ( x) آنگاه اما اگر ممكن اسق آنگاه B بتابراین داریم: ( x) or A ( x) B x U : ( x) ( x) A A A B x U ( x) ( x) B A B يعني مثنال 4- : فرض كتيند {,2,3}=A, {,2,3,4,5}=B دو مجموعنه دلخواه ازاعنداد طبيعي بناشنننتند x,2,3 x,2,3,4 A( x) B ( x) ساير ساير χ A و همچتين () χ B χ A بتابراین () () =, χ B χ A مثال = () χ B واضننح اسننق كه χ A (4) χ B χ A پس (4) (4) =, χ B (4) = بين مجموعههاي اصلي رابطه شموليق بصورت زیر ميباشد N W Z Q R C تعریف 2- )مجمو عه تواني(: مجمو عه ت مام زیر مجمو عه هاي A را مجمو عه تواني A نمایش ميدهيم مي ناميم و با ن ماد( P(A مثال 5-: فرض كتيد A={a,b,c} بتابراین P( A) {,{ a},{ b},{ C},{ a, b},{ a, c},{ b, c},{ a, b, c}} همانطور كه مشناهده ميشنود اعضناي مجموعه ( P(Aدود یك مجموعه ميباشنتد اگر تعداد اعضناء A را با A )P.A را عدد اصنننلي مجمو عه A گوی تد درم ثال بل A 3 ب تابراین A) 2 A ن مایش دهيم آن گاه P( A) 2 3 8 2-2-: اجتماع دو مجموعه تعریف 4-: اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشتد اجتماع آنها بصورت زیر تعریف ميشود A B x : x A يا x B 4

شکل 3-: اجتماع م ثال -6: الف- فرض كت يد {,2,4,6}=A و {2,4,5}=B آن گاه {,2,4,5,6} = B A عضویق آنها بصورت زیر مي باشد x =,2,4,6 χ A (x) = { سایر و ن مایش و براي اجتماع داریم تابع x = 2,4,5 χ B (x) = { سایر x =,2,4,5,6 χ A B (x) = { سایر χ B (7) =, آنگاه اگرx=7 χ A B پس = (2) اگرx=6 آنگناه = (6) A χ B (6) =, χ پس = (2) A χ B (2) =, χ فرض كتيد x=2 آنگاه همچتين و χ A B پس = (7) = (7) A χ χ A B (6) = مشناهده ميشنود كه ارتباطي بين تابع عضنویتهاي مجموعههاي B,A با مجموعه Aوجود B دارد دروا ع ميزان عضویق دراجتماع دو مجموعه بزرگترین عضویق ازبين ميزان عضویتهاي دو مجموعه ميباشد یعتي: χ A B (x) = max{χ A (x), χ B (x)} به عبارت دیگر و تي ميزان ع ضویق هردو مجموعه صفر با شد ميزان ع ضویق اجتماع صفر دواهد بود و سایر موارد A A A A A ( A B) C A ( B C) A U U ميزان عضویق یك دواهد بود بردي دواص اجتماع A B B A 3-2-: اشتراك دو مجموعه تعریف 5-: اگر B,A دو مجموعه دلخواه روي مجموعه مرجع مي باشننتد آنگاه اشننتراك آنها بصننورت زیر تعریف A B xu : x A, x ميشود {B شکل 4-: اشتراک مثال :7- A={,2,4,6} و B={,3,5} آنگاه {} A B 5

مثال :8- اگر A=[2,3] و B=[2.5,4] آنگاه [2.5,3] A B نمایش اشتراك با روش تابع عضویق بصورت زیر ميباشد χ A B (x) = min{χ A (x), χ B (x)} یعتي و تي هر دو ميزان عضویق یك باشد ميزان عضویق اشتراك نيز یك دواهد بود χ A B (x) = { x = سایر درمثال 7- داریم A A A A AU A A B B A بردي از دواص اشتراك ( A B) C A( B C) توجه : دو مجموعه راازهم جدا یا مستقل گویتد هرگاه اشتراك نداشته باشتد یعتي A B 4-2- تفاضل دو مجموعه تعریف 6-: فرض كتيد B,A دو مجموعه دلخواه روي مجموعه مرجع U باشنند تفاضننل دو مجموعه بصننورت زیر A B { xu : x A, x تعریف ميشود {B شکل 5- : تفاضل مثال 9-: اگر B={3,5,7},A={,2,3,4} آنگاه A-B={,2,4} AB ( A B) ( براي دو مجموعه دلخواه B,A تفاضل متقارن بصورت (A B تعریف ميشود شکل 6- : تفاضل متقارن 5 2-- متمم یك مجموعه تعریف 7-: فرض كتيد U مجموعه مرجع و A یك مجموعه دلخواه باشد درایتصورت متمم مجموعه A عتاصري از A U A متعلز نباشتد A ميباشتد كه بر U شکل 7-: متمم 6

χ A (x) = χ A (x) نمایش تابع عضویتي متمم بصورت زیر اسق: مثال -: فرض كتيد مجموعه مرجع اعداد طبيعي كوچكتر وم ساوي با شد و {,2,7,8,9}=A درایت صورت A {3,4,5,6,} A بتابراین نمایش تابع ع ضویق B A با توجه به تعریف تفا ضل ومتمم ميتوان به راحتي اثبات كرد كه B تفاضل بصورت {(x) χ A B (x) = min{χ A,(x) χ B مي باشد ازطرفي طبز نمایش تابع عضویتي متمم داریم: χ A B (x) = min{χ A (x), χ B (x)} تمرین 2-: نمایش تابع عضویتي تفاضل متقارن را بتویسيد بردي ازدواص متمم U U ( A) A ( A B) A B ( A B) A B مجموعهها با اعمال تعریف شنده داراي دواص زیادي ميباشنتد كه بعضني ازآنها در سنمتهاي بلي گفته شند این دواص به راحتي اثبات ميشنننوند كه اثبات آنها به عهده دوانتده دواهد بود مهمترین دواص مجموعه ها درجدول زیر آمده اسق: نام خاصیت انون شموليق انون طرد انون دودتواني انون جابجایي انون شركتپذیري انون توزیعپذیري انون جذب انون دمورگان انون هماني فرمول نمایش تابع نشانگر χ A A (x) = χ A A (x) = A A = U A A = χ A A (x) = χ A (x) χ A A (x) = χ A (x) A A = A A A = A χ A B (x) = χ B A (x) A B = B A χ A B (x) = χ B A (x) A B = B A χ A (B C) (x) = χ (A B) C (x) A (B C) = (A B) C χ A (B C) (x) = χ (A B) C (x) A (B C) = (A B) C χ A (B C) (x) = A (B C) = (A B) (A C) χ (A B) (A C) (x) A (B C) = (A B) (A C) χ A (B C) (x) = χ (A B) (A C) (x) χ A (A B) (x) = χ A (x) A (A B) = A χ A (A B) (x) = χ A (x) A (A B) = A χ (A B) (x) = χ A B (x) (A B) = A B χ (A B) (x) = χ A B (x) (A B) = A B χ (A ) (x) = χ A (x) A = A χ (A U) (x) = χ A (x) A U = A χ (A U) (x) = A U = U χ (A ) (x) = A = جدول - : دواص مجموعهها 7

6-2-: اثبات انونشركتيذیري با نمایش تابع عضویق: ميدواهيم ثابق كتيم: (x) χ A (B C) (x) = χ (A B) C یا به عبارت دیگر max{χ A (x), max{χ B (x), χ C (x)}} = max{max{χ A (x), χ B (x)}, χ C (x)} دروا ع باید نشنننان دهيم كه عمليات ماكزیممگيري داصنننيق شنننركتپذیري دارد توابع عضنننویق مقادیر و ادتيارميكتتد پس براي سه مجموعه 8 حالق اتفاق ميافتد كه درجدول زیر نمایش داده شده اسق را χ A χ B χ C max{χ B, χ C } L.H.S max{χ A, χ B } R.H.S جدول 2-: اثبات انون شركقپذیري همانطور كه درجدول دیده ميشود L.H.S=R.H.S 3- چند مفهوم دیگر از مجموعهها -3-- افراز تعریف 8- فرض كتيد A یك مجموعه دلخواه باشد An,..,A2,A را افزارهاي A گویيم هرگاه : A i i =,2,.., n A i A j i j 2 n A i = A 3 i= شكل 8- :افراز {4,6,8,}A3 افراز هایي از, م ثال -: اگر {,.,,2}=A آن گاه {,3,5,7,9}=A و {2}=A2 مجموعه A ميباشتد 2-3-- مجموعه محدب تعریف 9-: فرض كتيد A زیر مجموعهاي ازاعداد حقيقي باشد مجموعه A را محدب گویيم هرگاه x, x2 A, [,] x ( ) x2 A 8

بدین معتي كه اگر دو نقطه دلخواه ازمجموعه را درنظر بگيریم پاره دط واصنننل بين این دو نقطه نيز در همان مجموعه رارگيرد تركيب x تركيب دطي محدب دو نقطه x2,x ناميده ميشود ) ( x 2 مجموعه محدب مجموعه نامحدب مثال 2-: نشان دهيد مجموعه [,]=A محدب اسق فرض كتيد x, x A 2 بتابراین و با جمع طرفين نام ساوي داریم داد شكل 9-: تحدب مجموعهها ( ) x2, x لذا x, x x پس مجموعه A محدب ( ) x A یعتي x ( ) x 2 2 A B تمرین 3-: نشننان دهيد اگر B,A دو مجموعه محدب باشننتد آنگاه A B محدب نميباشد محدب اسننق ولي معموال 4-: رابطه تعریف -: فرض كتيد B,A دو مجموعه دلخواه باشتد حاصلضرب دكارتي دو مجموعه بصورت زیر تعریف ميشود A B {( a, b) : a A, b B} مثال 3-: اگر {2,4}=A و {5,6,7}=B آنگاه A B {(2,5),(2,6),(2,7),(4,5),(4,6),(4,7)} R A تعریف - اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشنننتد R را رابطهاي از A به B گویتد هرگاه B R A باشد R رارابطهاي روي A گویتد رابطه یك نوع مجموعه دو بعدي ميباشد اگر A دروا ع مثال 4-: مجموعههاي مثال بلي رادرنظر بگيرید {(4,6)(2,6)(2,5)}=R یك رابطه ميباشد مثال 5-: الف- بخشپذیري روي مجموعه اعداد صحيح یك رابطه ميباشد ب- زیر مجموعه بودن روي مجموعه تواني یك رابطه ميباشد توجه:,a) (b R بصورت arb نيز نمایش داده مي شود -4- خواص روابط فرض كتيد R رابطهاي روي A باشد یعتي R : A A a A - بازتابي یا انعكاسي: رابطه R را بازتابي گویتد هرگاه ara 9

a, b A 2- تقارني: رابطه R را تقارني گویتد هرگاه arb bra 3- پادتقارني: رابطه R را پادتقارني گویتد هرگاه تقارني نباشد یا به عبارت دیگر a, b A arb a b bra مثال 6-: رابطه بخشپذیري روي اعداد صحيح داصيق بازتابي- پادتقارني و تعدي دارد مثال 7-: رابطه C روي مجموعه تواني داصيتهاي بازتابي- پادتقارني و تعدي دارد مثال 8-: رابطه همتهشي روي اعداد صحيح داصيق بازتابي- تقارني وتعدي دارد a b(mod k) a b k تعریف 2- )رابطههم ارزي( به رابطهاي كه سه دا صيق بازتابي تقارني وتعدي دا شته با شد رابطه هم ارزي گفته ميشود مثل رابطه همتهشي روي اعداد صحيح تعریف 3- ( رابطه ترتيب جزئي( به رابطهاي كه سه دا صيق بازتابي پادتقارني وتعدي دا شته با شد رابطه ترتيب جزئي گفته ميشننود مثل رابطه بخشپذیري روي اعداد صننحيح رابطه روي مجموعه تواني معموال یك رابطه ترتيب جزئي را با (> A) نمایش ميدهتد A مجموعهاي اسق كه رابطه روي آن تعریف ميشود كه به آن مجموعه جزئا مرتب گفته ميشود و < همان رابطه ترتيب جزئي اسق تعریف 4-: )كران باال( فرض كتيد(> A) یك مجموعه جزئا مرتب باشننند u را كران باالي A گویتد هرگاه x A x u مثال 9- مجمو عه {,2,4,5,,2}=A ورابطه بخش پذیري یاد عاد كردن را درنظر بگيرید ( A) یك مجموعه جزئا مرتب ميباشد عدد كران پایين وعدد 2 كران باالي مجموعه A ميباشتد 5-: هشبكه تعریف 5- مجموعه جزتا مرتب L را م شبكه گویتد هرگاه هر دو ع ضو آن كوچكترین كران باال و بزرگترین كران پایين داشنننته باشننند كوچكترن كران باال دو عضنننو b,a را با ميدهيم a b و بزرگترین كران پایين را با a b نمایش مثال 2- مجموعه A={a,b,c} و رابطه رادرنظر بگيرید ( (P(A) یك مجموعه جزتا مرتب ميباشننند كوچكترین كران باال وبزرگترین كران پایين بصورت زیر تعریف ميشود F G F G F, G P( A) F G F G,G F متعلز به P(A) ميباشننند بتابراین ( (P(A) یك مشنننبكه به راحتي ميتوان نشنننان داد كه F G ميباشد مقسنوم عليههاي عدد 26 باشند نشنان دهيد ( L) یك مشنبكه ميباشند ) رابطه تمرین 4-- فرض كتيد L a L را متمم a L گوی تد هر گاه یك مشنننب كه باشننند (> L) فرض كت يد عادكردن ميباشد( تعریف 6- )متمم ) و بزرگترین عضو L ميباشتد a a =, كه درآن كوچكترین عضو L = a a مثال 2-: مجموعه ( 2 D) را درنظر بگيرید. عدد 4 ميباشد زیرا 4 5 2, 4 5 D2 همان مقسنوم عليههاي عدد 2 ميباشند متمم عدد 5 به

تعریف 7-: شبكه L را متممدار گویتد هرگاه تمام اعضاي آن داراي متمم باشتد مثل ( (P(A) تعریف 8-: مشبكه L را توزیعپذیر گویتد هرگاه a( b) L a ( b c) ( a b) ( a c), a ( b c) ( a b) ( a c) مثال 22- مجموعه (> [,]) یك مشننبكه توزیعپذیر ميباشننتد كه درآن < همان رابطه < روي اعداد حقيقي ميباشد همان max و همان min ميباشد 6- جبربول a, b A aob تعریف 9-: مجموعه A را نسبق به عمل o بسته گویتد هرگاه A تعریف 2-: یك مجموعه كه نسبق به یك یا چتد عمل بسته باشد را جبر گویتد تعریف 2- )فرمول(: مجموعه B را با اعمال.,+ وعتاصر, را یك جبربول گویتد هرگاه دواص زیر بر رار باشتد: a+a=a a.a=a - داصيق دودتواني a+b=a+b a.b=b.a -2 داصيق جابجایي a+(b+c)=(a+b)+c -3 داصيق شركتپذیري a.(b.c)=(a.b).c a.(b+c)=(a.b)+(a.c) -4 داصيق توزیعپذیري a+(b.c)=(a+b).(a+c) a+(a.b)=a a.(a+b)=a -5 داصيق جذب a a a. a a, a B 6- داصيق متمي )P ( یك جبربول ميباشد A),,,,, A) مثال 23-,B ( یك جبربول ميباشد,,, F, مثال 24-: فرض كتيد B مجموعه همه گزارهها باشد درایتصورت (T مثال 25-: فرض كتيد {,}=B واعمال +و را بصننورت زیر تعریف شننده باشننتد درایتصننورت (,,,.,+,B) جبربول ميباشد +.